Georg Lakoff ja Rafael E. Nuñez: Where mathematics comes from. Basic Books, 2000.
Tämän kirjan löysin hyllystäni viime keväänä – olin ostanut sen joltain työmatkaltani ulkomailta kirjakaupasta vuosia sitten, mutta unohtanut katsoa sen sisään aikaisemmin. Olisi kannattanut, sillä kirja osoittautui kiinnostavaksi ja myös erinomaisesti kirjoitetuksi. Lukemisintoa lisäsi tunne, että löysin siitä omia hämäriä ajatuksiani selkeäksi kehitetyssä muodossa: sen pääajatukset vastasivat hyvin sitä, miten itse koen matematiikan. Huomasin sitten, että kirja on itse asiassa hyvin tunnettu ja vaikutusvaltainen, sillä sen Google Scholarin noteeraamien viittausten määrä tieteellisessä kirjallisuudessa on lähestymässä kuutta tuhatta. Jäin vähän ihmettelemään, etten ollut kuullut siitä aikaisemmin.
Taustaa: painotuksen siirtyminen formaalista logiikasta fyysisen ihmisen toimintakykyyn
Teoksen tieteellinen viitekehys on kognitiotiede, uudehko ala, joka tutkii tiedon olemusta yhdistellen kielitieteen, psykologian, tietojenkäsittelytieteen ja filosofian elementtejä. Kun yhdysvaltalainen George Lakoff (s. 1941) aloitti kielitieteilijän uransa 1960-luvun alussa, uskottiin ihmisen kielen ja ajattelun seuraavan formaalien kielioppien ja logiikan sääntöjä. Seuraavalla vuosikymmenellä tapahtui kuitenkin käänne, kun havaitsemista ja ajattelun elementtejä alettiin tutkia kokeellisen psykologian tekniikoilla, ja ajattelun ruumiillisesta puolesta alettiin päästä jyvälle. Tällä tiellä ollaan edelleen, vaikkei läheskään perillä. Lakoffin tutkimusten osalta merkittävä etappi oli hänen Mark Johnsonin kanssa kirjoittamansa teos Philosophy in the Flesh (1999), vapaasti käännettynä ”Filosofia lihassa”.
Tässä käsiteltävän kirjan idea Lakoffin lähestymistavan soveltamisesta kehittyneeseen matematiikkaan, jossa äärettömyyden käsite on keskeisessä roolissa, tuli nuoremmalta, psykologitaustaiselta kognitiotieteilijältä Rafael Nuñezilta. Sveitsissä työskennellyt Nuñez sai hankkeelle sikäläisen apurahan ja aloitti yhteistyön Lakoffin kanssa Berkeleyssä vuonna 1993.
Alitajuinen kognitio ja metaforien muodostaminen
Lakoffin näkemys ihmismielen luonteesta nojaa kolmeen periaatteeseen:
1. Järkemme rakentuu ruumiimme jokapäiväiselle toiminnalle.
2. Suurin osa ajattelusta on alitajuista.
3. Käsitteellisen ajattelun keskeinen mekanismi on käsitteellinen metafora.
Se, mitä ”näemme suoraan”, voi olla hyvinkin monimutkaisten prosessien tuottamaa – nämä prosessit vain jäävät tajuntamme alapuolelle. Osa tällaisista kyvyistä kehittyy ihmisen (ja muidenkin eläinten) toimiessa ympäristössään, ja osa on kehkeytyneenä jo syntyessä.
1980-luvulla havaittiin kokeellisesti, että jo parin päivän ikäinen ihmislapsi pystyy erottamaan lukumäärät 0, 1, 2, ja pian myös 3. Tätä kykyä kutsutaan ”subitoinniksi” (subitizing). Vähän suurempien lukumäärien ”näkeminen” perustuu subitoinnille, mutta yhdessä tietoisempien operaatioiden kanssa: jaamme objektit pieniin ryhmiin, esimerkiksi 2:n ja 3:n suuruisiin. Vielä isompien lukumäärien täsmentämisessä on jo siirryttävä varsinaiseen laskemiseen. Vastaavaa selvänäköisyyttä meillä on spatiaalisissa skeemoissa: näemme heti, onko omena korin sisällä vai ulkopuolella, jne. Joukko-opista tutut perustelut diagrammeilla on tämän vuoksi helppo ”nähdä” tosiksi. Opimme varhain myös liikkumaan kolmiulotteisissa tiloissa, ja vieläpä muistamaan ja suunnittelemaan liikkumistamme.
Näiden kykyjen lisäksi matematiikan alitajuiseen pohjakerrokseen kuuluvat erilaiset motorisen hallinnan kyvyt: aloittaminen, keskeyttäminen ja jatkaminen, toistaminen, lopettaminen. Tähän liittyy myös lähdöstä kohteeseen vievän polun käsite. Kirjassa mainitaan tutkimuksia, joiden mukaan tällaiset skeemat ovat samoja, joita käytämme tapahtumien strukturoinnissa, sekä niistä järkeillessämme.
Korkeamman tasoinen perusprosessi on metaforien muodostaminen ja käyttö. Metafora, suomeksi suurin piirtein ”vertaus”, tarkoittaa käsitteiden välistä kuvausta, jossa yhtä käsiteryhmää käytetään esittämään toista, jonka rakenne on jollain tavoin samankaltainen. Lakoffin teoriassa abstrakti ajattelu perustuu nimenomaan tähän prosessiin. Wikipedia-sivunsa perusteella Lakoff näyttää soveltaneen metafora-käsitettään myös arkiajattelun ja poliittisen kielen analyysiin ja kritiikkiin.
Matematiikan perustavia metaforia
Lakoff ja Nuñez löytävät matemaattisen ajattelun pohjalta muiden muassa seuraavat metaforaelementit:
Aritmetiikka on objektien keräilyä -metafora
Tämä on luonnollisten lukujen perustava metafora: luvut edustavat samankaltaisten esineiden kokoelmien suuruuksia.
Kategoriat ovat säiliöitä -metafora
Säiliö tarkoittaa tässä 2- tai 3-ulotteista rajattua aluetta, jolla on sisä- ja ulkopuoli. Osaamme panna sellaisen sisälle yksittäisiä objekteja, ottaa niitä pois, jne. Tähän osaamiseen liittyvää ajattelua voidaan soveltaa myös abstraktien objektien kuten lukujen yhteydessä.
Olotilat ovat paikkoja -metafora
Kuten yllä todettiin, spatiaaliset suhteet ovat meille tuttuja, ja niiden hallintaa voidaan käyttää muunkin tyyppisten asioiden yhteydessä. Esimerkiksi veden lämpötiloja voidaan kuvata geometrisella suoralla, johon voidaan vielä merkitä jäätymisen ja kiehumisen paikat erityisinä pisteinä.
Käsitteelliset seokset
Matematiikassa voidaan usein kuvata samaa asiaa useammalla kuin yhdellä tavalla, mistä on paljon hyötyä. Perusesimerkki tästä on ympyrä, joka Descartesin analyyttisessä geometriassa esitetään yhtälön x2+y2=1 toteuttavien pisteiden (x,y) joukkona.
Symbolit
Symboleilla on tärkeä rooli ihmisen ajattelussa ja kulttuurissa. Matematiikan yhteydessä tämä on erityisen korostunutta, näkyyhän lähes jokaisessa matemaatikon karikatyyrissäkin vähintään sigma- ja integraalimerkkejä. Symbolin avulla voidaan monimutkaista käsitettä tai objektia operoida ulkonaisesti helposti kuin marmorikuulaa, usein jopa aivan mekaanisesti. Lakoff ja Nuñez kertovat lääketieteellisen tositapauksen Mr M:stä, joka paikallisen aivovaurion saatuaan osasi numeroiden nimet ja muisti koko kertotaulun, muttei enää ymmärtänyt pientenkään lukujen merkitystä.
Äärettömyyden perusmetafora
Erityisen mielenkiintoista Lakoffin ja Nuñezin projektissa on äärettömyyden käsitteen (tai käsitteiden) maadoittaminen fyysisen ihmisen toimintaan. Miten äärellinen eläin voi ajatella ääretöntä, josta sillä ei ole minkäänlaista havaintoa?
Heidän ratkaisunsa on määritellä äärettömyyden perusmetafora (basic metaphor of infinity) sekä sen erilaisia johdannaisia. Perusmetaforana on loputtomiin jatkuvan (äärettömän) iteraation tulkitseminen loppuun saatetun (äärellisen) iteraation kaltaiseksi, siinä mielessä, että molemmilla olisi lopputulos, jolla on samankaltainen suhde iteraation edeltäviin vaiheisiin.
Kirjassa käydään läpi äärettömyyden läsnäolon muotoja kaikenlaisessa matematiikassa: luonnollisten lukujen joukon äärettömyys, raja-arvo, reaaliluvut, joukko-oppi, kontinuumihypoteesi. Nämä tarkastelut ovat kauttaaltaan kiinnostavasti ja pätevästi laadittuja, ja kirja voi toimia myös unholaan jääneiden perusopintojen virkistyksenä. Erityisen mukava tässä suhteessa on kirja lopussa esitetty Eulerin yhtälön eπi+1=0 analyysi, joka näyttää, miten paljon erilaisia metaforisia ajatusaskelia tämän lyhyen yhtälön ymmärtäminen sisältää.
Ideaalisen olemassaolo
Jos kysymys on siitä, miten kukin ihmisyksilö ymmärtää matemaattisia käsitteitä, niin meitä on todella paljon ja monenlaisia. Siksi en oikein usko, että Lakoffin ja Nuñezin esiin nostamat metaforarakenteet matemaattisten käsitteiden maadoittamisessa konkreettiseen ajatteluun olisivat ainoita mahdollisia ja yleispäteviä täsmälleen siinä muodossa, kuin kirja ne esittää. Nyt lukemani kirjan ilmestymisen jälkeen aivotutkimuskin on ehtinyt edistyä paljon, joten metaforan statuksesta ajattelussa saattaa olla tarkempia empiirisiäkin tuloksia.
Oleellisinta tässä on kuitenkin periaate, että matematiikankin ajattelu perustuu sellaisille kyvyille, jotka ovat kehittyneet kauan ennen matematiikkaa ihmisten ja heidän edeltäjiensä käytännöllisessä toiminnassa ympäristöissään, ja että metaforien muodostaminen on perustavanlaatuinen erityiskyky ihmisen ajattelussa.
Lakoffin ja Nuñezin teos on myös filosofinen puheenvuoro. He rusikoivat kovasanaisesti platonistista näkemystä, jonka mukaan matemaattiset oliot, esimerkiksi reaaliluvut, olisivat olemassa omassa universumissaan ihmisestä (ja vastaavista muiden taivaankappaleiden asukkaista) riippumatta. Tämä kritiikki on minusta vakuuttavaa, mutta jää vähän liian karkean materialismin tasolle (”Philosophy in the Flesh”…). Olisi tärkeää ymmärtää tarkemmin, missä mielessä sitten matemaattiset oliot ja ideaaliset oliot ylipäätään, vaikkapa Sibeliuksen sinfoniat, kuitenkin eittämättä ovat olemassa. Minkä seittien varassa niiden olemassaolo riippuu, kun ne eivät ole turvallisesti tallessa omassa universumissaan? •
Ilkka Norros