Olemme tottuneet siihen, että matematiikka on olemassa. Kaiken kulttuurin on kuitenkin joku joskus keksinyt. Ranskalaisen matemaatikon Pierre Brémaud’n mielestä pythagoralaisuuden rooli nykyisen matematiikan tieteen syntymisessä oli niin suuri, että myös koulukunnan perustaja, Pythagoras itse, ansaitsisi nykyistä paljon vahvemman aseman länsimaisen kulttuurin suuruuksien galleriassa. Tämä tuli Brémaud’lle mieleen, kun hän kerran Rooman Villa Borghesen puistossa kävellessään huomasi pitkässä rintakuvien rivistössä yhden ainoan tuhrituksi – Pythagoraan. Hän jäi miettimään, mistä voi olla kysymys, jos Pythagoraalla on kahden ja puolen vuosituhannen jälkeen edelleen vihamiehiä, ja innostui jäljittämään häneen liittyvää perinnettä perusteellisemmin. Kymmenen vuoden kuluttua tuloksena ilmestyi tukeva kirja Le dossier Pythagore (Ellipses, 2010), ”Pythagoraan tapaus”.
Brémaud kertoi minulle aikoinaan ajatuksistaan, ja sain kappaleen kirjaakin. Ranskantaidottomana pystyn ikävä kyllä ymmärtämään sitä vain utuisesti, ja seuraavassa nojaudun myös Christoph Riedwegin kirjaan Pythagoras (C.H. Beck, 2002).
Krotonin guru
Pythagoraasta on paljon tarinoita, mutta hyvin vähän varmaa tietoa. Mitä ilmeisimmin hän oli todellinen henkilö, joka syntyi Samoksella vuoden 570 e.a.a. paikkeilla. Nykyisen Turkin rannikon kaupunkivaltioissa oli tuolloin jo kehkeytynyt uudenlainen, suuren kauppiasluokan elämäntapaan liittynyt ennakkoluuloton älyllinen kulttuuri. Läheisessä Miletoksessa asuneet ajattelijat Thales ja Anaksimandros olivat puolisen vuosisataa Pythagorasta vanhempia. Pythagoras matkusteli kartuttaen tietojaan, luultavasti ainakin Egyptissä ja mahdollisesti paljon laajemminkin. Nelikymppisenä hän asettui Etelä-Italiaan Krotonin kaupunkiin ja hyvin karismaattisena hahmona sai kansalaiset innostumaan ajatuksistaan.
Pythagoras muodosti myös aatteisiinsa syvemmin vihkiytyneiden yhteisön – voisi sanoa veljeskunnan, mutta jäseninä oli myös naisia. Jäseneksi saattoi päästä kuka vain, mutta pitkän koeajan jälkeen. Jäsenen piti luovuttaa omaisuutensa yhteisölle, ja tämän sisällä omistus oli yhteistä. Yhteisön salaisuuksista oli täydellisesti vaiettava ulkopuolisille.
Pythagoraan lause
Pythagoraan lauseeksi kutsuttu väittämä on, että suorakulmaisen kolmion pisimmän sivun (hypotenuusan) neliö on yhtä suuri kuin kahden lyhyemmän sivun (kateettien) neliöiden summa. Tämä lienee vanhin matemaattinen tulos, joka on sekä erittäin tärkeä että epätriviaali eli kekseliästä perustelua vaativa. Sen liittäminen Pythagoraan nimeen on jonkinasteinen vahinko, sillä se tunnettiin ainakin Babyloniassa jo tuhat vuotta ennen Pythagorasta: tuolta ajalta on löytynyt savitauluja, joissa on lueteltu suuret määrät suorakulmaisen kolmion sivuiksi kelpaavia kokonaislukukolmikkoja (ensimmäinen näistä on 3:4:5). Ei tiedetä, miten babylonialaiset lauseen perustelivat, mutta se voidaan tehdä ainakin näillä yksinkertaisilla kuvioilla:
Se, että oikealla puolella kallellaan oleva nelikulmio on tosiaan neliö, seuraa siitä, että jokaisen kolmion kulmien summa on yhtä kuin kaksi suoraa kulmaa, mikä taas perustuu vielä yksinkertaisempiin geometrisiin faktoihin. Tarvitaan siis todistusten ketju.
Pythagoraan lauseesta seuraa myös, että neliön lävistäjän ja sivun suhdetta (nykymerkinnöin √2) on mahdotonta ilmaista kokonaislukujen suhteena. Pythagoralaiset löysivät tämäntyyppisiä salaperäisiä totuuksia ja saattoivat rangaista niiden paljastamisesta ulkopuolisille. Suomenruotsalaisen kirjailijan Fredrik Långin hienossa historiallisessa romaanissa Elämäni Pythagoraana (suom. Tammi, 2005) on mukana tämäkin teema.
Harmoniaa etsimässä
Pythagoraan oppi näyttää olleen melkoinen sekoitus uskontoa, elämäntapaohjeita, luonnonfilosofiaa ja matematiikkaa.
Myyttisen Orfeuksen nimeen liitetyt jumaltarinat ja runot olivat lähellä pythagoralaistenkin ajatusmaailmaa. Pythagoras väitti sielun olevan kuolematon ja siirtyvän kuoleman jälkeen johonkin toiseen eläimeen tai ihmiseen. Hän opetti kasvissyöntiä ja vastusti eläinten uhraamista. Hänen sanotaan myös keksineen silloiset uudissanat ”filosofi”, jolla hän kuvaili itseään, ja ”kosmos” hyvin järjestetyn maailmankaikkeuden merkityksessä.
Pythagoraan omaperäisin ja jälkimaailmalle merkittävin ajatus oli kuitenkin se, että maailman salattuun olemukseen liittyvät luvut, ja että lukujen ja geometrian perusteellinen tutkiminen on tie kosmoksen ymmärtämiseen. Geometrian käytännöllisestä mahdista Pythagoras lienee vaikuttunut jo parikymppisenä, kun Samoksella onnistuttiin louhimaan vuoren läpi kilometrin pituinen vesitunneli aloittaen yhtaikaa molemmista päistä. Monet reaalimaailman ja lukujen yhteydet olivat pythagoralaisten opeissa symbolisia ja mystisiä, nykykatsannossa huuhaata.
Yksi yhteys, kenties koko idean alkujuuri, oli kuitenkin täysin todellinen: musiikillinen harmonia. Mahdollisesti juuri Pythagoras keksi, että sopusointuisina koetut sävelintervalli oktaavi, kvintti ja kvartti vastasivat pienimmillä kokonaisluvuilla ilmaistavia taajuussuhteita 1:2, 2:3 ja 3:4. Ainakin hän keksi vetää tästä suuria johtopäätöksiä. Hän uskoi taivaankappaleita kuljettavien kristallipallojen suhteiden olevan vastaavanlaisia, ja väitti jopa pystyvänsä kuulemaan niiden äänten tuottaman ”sfäärien harmonian”.
Pythagoralaisessa asteikossa sävelten suhteet pohjasäveleeseen ovat
Tässä kaikki kokosävelaskeleet ovat 8:9 ja molemmat pienet sävelaskeleet 243:256 (huom: kaksi pientä peräkkäin ei ole sama kuin yksi kokosävelaskel kuten tasavireisessä asteikossa). Murtolukujen osoittajat ja nimittäjät ovat 2:n ja 3:n potensseja, ja kaikki kvintit ja kvartit ovat puhtaita. Eurooppalainen musiikki käytti pythagoralaista asteikkoa 1400-luvun vaihteeseen saakka, jolloin keksittiin renessanssiajan sulosointuinen kolmisointumusiikki. Siinä puhtaan duurikolmisoinnun suhteet ovat
Tässäkin esiintyy vain pieniä kokonaislukuja, mutta mukana on nyt myös alkuluku 5. Vastaava pythagoralainen sointu olisi
eikä sitä musiikissa käytetty, koska se kuulostaa karmealta. (Jos lukijalla on käytössään ääntä tuottava matematiikkatyökalu, suosittelen vertaamaan pythagoralaista, puhdasta ja tasavireistä kolmisointua. Renessanssimusiikille ei kuitenkaan voida muodostaa pythagoralaista vastaavaa kiinteää asteikkoa.)
Harmonia oli avainsana myös Pythagoraan poliittisessa vaikutuksessa Krotonissa. Hän opetti ystävyyttä ja oikeudenmukaisuutta, ja yksityisen pröystäilyn sijaan hän innosti kaupunkilaiset rakentamaan muusien temppelin. Ennen pitkää krotonilaiset antoivat kaupunkivaltionsa johdon pythagoralaisille, ja erinomaisella menestyksellä, mikä sai aatteetkin leviämään laajemmalle.
Krotonin pythagoralainen meno kesti lähes kolme vuosikymmentä, kunnes se sai loppunsa kaupungin rikkaimman miehen Kylonin johtamassa yläluokan kapinassa. Pythagoras itse muutti vähän pohjoisempana Italian ”jalkapohjassa” sijaitsevaan Metapontiin ja ilmeisesti kuolikin myöhemmin siellä. Hänestä ei ole valitettavasti säilynyt kirjallista silminnäkijätietoa, eikä hänen tiedetä itse kirjoittaneen teoksia.
Pythagoraan pitkä jälki
Pythagoraan luoman yhteisön perinne jatkui hänen jälkeensä, vaikkakin pirstaloituneempana, kun opin eettisten ja matemaattisten ainesten harrastajat osittain erkaantuivat. Kaksisataa vuotta Pythagoraan jälkeen, ns. hellenistisellä aikakaudella, matematiikka oli jo se mahtava eksakti tiede, jonka Eukleides esitteli suurteoksessaan. Vuosisatojen ajan monet antiikin merkittävistä matemaatikoista tunnettiin pythagoralaisina.
Hellenistisellä ajalla syntyi myös ns. uuspythagoralaisuus, joka pyrki elvyttämään Pythagoraan oppeja uskonnollis-filosofisena suuntauksena. Rooman Porta Maggioren tuntumasta on löytynyt maanalainen uuspythagoralainen temppeli ensimmäiseltä vuosisadalta e.a.a. (https://en.wikipedia.org/wiki/Porta_Maggiore_Basilica). Sen seinämaalauksessa esiintyy runoilijatar Sapfo meren äärellä. Brémaud’n havaitsema Pythagoraan pystin tuhrinta oli kuin kaukainen jälkikaiku ajalta, jolloin uuspythagoralaisuus oli yksi useista kristinuskon kanssa kilpailleista, osittain samankaltaisia arvoja julistavista ja osittain aivan erilaisista uskontokunnista.
1500-luvun alussa Nikolaus Kopernikus löysi varhaisilta pythagoralaisilta astronomeilta tukea ajatukselleen, että maa on liikkuva taivaankappale. Saman vuosisadan lopulla Johannes Kepler pyrki osoittamaan, että planeettojen liikkeiden suhteet liittyisivät pythagoralaisten harrastamiin säännöllisiin monitahokkaisiin. Tämä hypoteesi ei osoittautunut oikeaksi, mutta havaintoaineistoja vuosikaudet tutkittuaan Kepler löysi lopulta kolme hengeltään varsin pythagoralaista planeettaliikkeen lakia. Näitä lakeja ihmetellessään Newton keksi painovoimateoriansa, josta ne voidaan matemaattisesti johtaa. Ja loppu on historiaa, kuten on tapana sanoa. •
https://www.dreamstime.com/photos-images/pythagoras.html
Ilkka Norros