Professori Sarah Hart on haltioitunut Moby Dickin matemaattisista kielikuvista. Melvillen teos on yksi esimerkeistä Hartin kirjassa Once Upon a Prime, joka käsittelee matematiikan ja kirjallisuuden suhdetta.
Oikeastaan vasta vuosikymmeniä kuolemansa jälkeen sai Herman Melvillen (1819–1891) tunnustusta merkittävänä amerikkalaisena kirjailijana. Iltalehdessä kuvailtiin vuonna 1927 hänen tyyliään seuraavalla tavalla:
Viime vuosien ajalla ovat kirjallisuuden arvostelijat kaivaneet esille Melvillen kirjoja ja havainneet, että niillä on harvinainen kirjallinen arvo, jolle aikaisemmin ei osattu antaa täyttä tunnustusta. Hänen kertomuksensa olivat laajaperäisiä ja niissä saattoi olla pitkiä kiinnottomia selityksiä. Sen tähden suurin osa lukijoista väsyi kesken, jonka vuoksi niissä ilmenevät harvinaisen ihanat ja mukaansa tempaavat kohdat jäivät suurelle osalle tuntemattomiksi. (IL 22.9.1927)
Kun Moby Dickin päähenkilö Ishmael kuvailee sykloidia käytännölliseen tapaan tautokroniongelman näkökulmasta, lukeutuuko se ”pitkiin kiinnottomiin selityksiin” vai ”ihaniin ja mukaansa tempaaviin kohtiin”? Riippuu varmaan, keneltä kysyy. Kun luin Moby Dickin sykloidista Sarah Hartin kirjasta Once Upon a Prime (Mudlark, 2023), oma kiinnostukseni Melvillen klassikkoteosta kohtaan kasvoi.
Matematiikan professori Hart kertoo viime vuonna julkaistussa kirjassaan yhteyksistä matematiikan ja kirjallisuuden välillä. Teos kattaa monta erilaista tapaa löytää matematiikkaa kirjoissa. Matematiikka voi ohjata kirjallisuuden rakennetta, kuten vaikkapa runomitta. Toisinaan taas numeroilla ja niihin liittyvällä symboliikalla on merkitystä tarinalle. Esiintyypä kirjoissa myös matemaatikkojakin – niin todellisia kuin keksittyjä.
Itse nautin eniten siitä osasta Hartin kirjaa, jossa pääosassa ei ollut rakenne, numerologia tai matemaatikot, vaan kirjallisuudesta löytyvät monimutkaisetkin matemaattiset käsitteet. Kuten vaikkapa Melvillen sykloidi.
Sykloidi on ratkaisu moneen ongelmaan
Fyysikan luennoilta mieleeni on jäänyt brakistokroniongelma. Brakistokroni on tasokäyrä, jota pitkin liikkuva kappale kulkee kahden pisteen välisen matkan lyhyimmässä ajassa. Kappaleen oletetaan kulkevan jonkun voiman, yleensä painovoiman, vaikutuksesta. Toisin sanoen haetaan muotoa liukumäelle, jota pitkin kappale liukuu kitkatta alas nopeimmin. Eulerin-Lagrangen yhtälön avulla onnistuin klassisen mekaniikan laskuharjoituksissa selvittämään, että vastaus on sykloidi.
Brakistokroniongelman ratkaisi ensimmäisenä Johann I Bernoulli vuonna 1697. Vastaus osoittautui samaksi kuin Johannin veljen Jakob I Bernoullin aiemmin ratkaisemaan tautokroniongelmaan. Bernoullien matemaatikkosukuun kuului useita aikakautensa merkittävimpiä matemaatikkoja. Sekä Jakob että Johann tekivät differentiaalilaskennan parissa uraauurtavaa työtä.
Johannin koottujen teosten, Opera Omnian, nimisivulla on kuva, jossa Johannin kilpailijoita kuvaava koira haukkuu puuhun naulattua matemaattista piirustusta. Piirustus esittää sykloidia.
Tautokroniongelma eli isokronisen käyrän ongelma tarkoittaa sellaisen radan määrittämistä, että sitä pitkin kitkatta liukuva kappale liukuisi maan vetovoiman alas kiskomana mistä tahansa pisteestä käyrän pohjalle yhtä nopeasti. Ongelmaa oli jo ennen Jakob I Bernoullia tutkinut geometrisesti Christiaan Huygens, mutta Bernoulli ratkaisi ongelman elegantisti käyttäen differentiaalilaskentaa.
Jos ympyrä, siis rengas, pyörii pitkin x-akselia, niin alussa origossa ollut ympyrän kehän piste piirtää sykloidikäyrän. Sykloidin määrittää pisteet (rθ – r sinθ, r – r cosθ), missä r on ympyrän säde ja θ kulma, jonka kierivä ympyrä on kääntynyt. Sykloidin ensimmäinen kaari muodostuu välille 0 ≤ θ ≤ 2π. Kun tämän kaaren kääntää ylösalaisin, saadaan brakistokroni- ja tautokroniongelmien ratkaisu.
Koska sykloidi on tautokroni, tarkoittaa se, että heilurikellon heilurin tulisi ympyrän kaaren sijaan kulkea pitkin sykloidia. Näin taajuus pysyisi samana, vaikka amplitudi muuttuisi. Juuri tämä ongelma motivoi Huygensia hänen sykloiditutkimuksissaan.
Huygens oli huomannut, että heilurikellot eivät ole täysin isokronisia. Niiden taajuus riippuu hieman amplitudista. Ratkaistuaan, että sykloidia pitkin liikkuva heilurin punnus olisi isokroninen, Huygens osoitti myös, että tällaisen heilurin voisi saada aikaan kiinnittämällä narun kahden sykloidin kaaren väliin.
Ishmael kuuraa rasvapataa
Pequod-laivalla seilaava Ishmael kertoo kuinka valaanpyyntialuksen tuntomerkkeihin kuuluu keittouuni. Laivalla oli kaksi suurta pataa, joihin rasvapaloja paloiteltiin. Silloin, kun patoja ei käytetty, piti ne pitää puhtaina. Niitä kiillotettiin rasvakivellä ja hiekalla, niin että ne suorastaan loistavat.
Ishmael kertoo:
Juuri Pequodin vasemmanpuoleisessa keittopadassa minäkin rasvakiven kiertäessä kiihkeästi ympärilläni kiinnitin ensimmäistä kertaa huomioni siihen merkilliseen tosiseikkaan, että geometriassa kaikki sykloidia pitkin liukuvat kappaleet, esimerkiksi tuo minun rasvakiveni, putoavat alas mielivaltaisesta pisteestä täsmälleen samassa ajassa. (Moby Dick eli valkoinen valas, WSOY 1956, suom. Seppo Virtanen, s. 476)
Jakob I Bernoulli johti differentiaaliyhtälön, separoi muuttujat, integroi yhtälöt ja määritti vakiot. Variaatiolaskennan keinoin hän tarkasteli integraalien ääriarvoja päätyen lopulta sykloidikäyrään. Ishmael sen kuin liu’utti rasvakiveä padassa ja oivalsi saman. Kaikkea sitä merillä seilatessa oppiikin. Kuten Ishmael itse sanoo: ”valaanpyyntialus merkitsi minulle samaa kuin Yale ja Harvard muille” (Moby Dick, s. 134).
Ei ole suinkaan sanomatta selvää, miten sykloidien salat olivat Herman Melvillelle tuttuja. Melville ei ollut matemaatikko, vaikka Moby Dick matemaattisia kielikuvia viliseekin. Sarah Hart on innostunut valkoisesta valaasta niinkin paljon, että on kirjoittanut kokonaisen artikkelin Moby Dickin matematiikasta (Ahab’s Arithmetic: The Mathematics of Moby-Dick, Journal of Humanistic Mathematics 11(1):4-32, 2021). Hart esittää, että Melvillen kiinnostus matematiikkaa kohtaan lienee hänen erinomaisen opettajansa ansiota.
Matematiikan merkitys Melvillelle
Melvilleä oli opettanut Joseph Henry, joka oli tunnettu tiedemies. Henrystä tuli myöhemmin Smithsonian-instituutin ensimmäinen johtaja. Mutta Melvillen on täytynyt olla itsekin kiinnostunut matematiikasta. Vaikka innostavan opettajan vaikutus onkin suuri, ei Melville muuten rasittaisi lukijoitaan Eukleideen geometrialla – niin mielenkiintoista kuin se voi ollakin.
Eukleides mainitaan Moby Dickissä ainakin kahdesti. Erityisesti toinen maininnoista on toistamisen arvoinen. Ishmael kuvailee valaan päätä. Valaan silmät ovat kuin korvat ihmisen päässä, ne sojottavat eri suuntiin. Valas näkee siis ihan eri kuvat eri silmillään.
Miten on siis valaan laita? Sen silmien täytyy tosin toimia yhtaikaisesti, mutta ovatko sen aivot niin paljon laajasisältöisemmät ja hienorakenteisemmat kuin ihmisen aivot, että se pystyy samassa silmänräpäytyksessä tarkoin tutkimaan kaksi erillistä näkymää, joista toinen on sen toisella puolella, toinen taas täsmälleen päinvastaisessa suunnassa? Jos se siihen pystyy, on tämä yhtä ihmeellistä kuin jos ihminen pystyisi todistamaan yhtaikaa kaksi erillistä Euklideen probleemaa. (Moby Dick, s. 378)
Hartin mukaan matematiikka symbolisoi Moby Dickissä rationaalisuutta. Matematiikka suojaa kaaokselta. Matematiikka on niin tärkeää, että Ishmael tatuoi käsivarteensa valaan luurangon mittoihin liittyviä tilastotietoja. Kaikki oli hyvin niin kauan kuin kapteeni Ahab teki mittauksia ja laski sijaintia huolellisesti. Kun Ahab lopettaa laskujen tekemisen on se varma merkki hulluudesta.
Once Upon a Prime on saanut minut lukemaan kirjoja ihan uudella tavalla. Nyt etsin niistä rytmiä, symbolisia lukuja ja matemaattisia viittauksia. Valitettavasti joka kirja ei ole kuin Moby Dick. Kaikki kirjailijat eivät ole yhtä innoissaan sykloideista kuin Melville.
Moby Dickiä en ole lukenut. Matemaattisten kielikuvien ja itse seikkailukertomuksen lisäksi tuntuu se tosiaan sisältävän turhan monia pitkiä ja kiinnottomia selityksiä. •
Humanistista matematiikkaa
Kun matemaatikko innostuu perehtymään kirjallisuuteen, missä hän julkaisee tutkimuksensa? Sarah Hartin Moby Dickin matematiikkaa käsittelevä artikkeli löysi kotinsa lehdestä Journal of Humanistic Mathematics. Humanistinen matematiikka kattaa lehden mukaan matematiikan esteettiset, kulttuuriset, historialliset, kirjalliset, pedagogiset, filosofiset, psykologiset ja sosiologiset aspektit. Eli siis oikeastaan kaikenlaisen inhimillisen toiminnan matematiikan ympärillä.
Kaikki artikkelit ovat vapaasti luettavissa lehden verkkosivuilla. Ensimmäinen numero ilmestyi vuonna 2011, ja siitä lähtien joka vuosi on julkaistu kaksi numeroa. Lehti on manttelinperijä vuosina 1987–2004 ilmestyneelle Humanistic Mathematics Network Journal’ille. Lehdestä löytyy mielenkiintoista luettavaa niin matematiikasta kiinnostuneille harrastajille kuin vaikkapa matematiikkaa työkseen opettaville.
Moby Dick ei ole suinkaan ainoa kirja, joka on esiintynyt Journal of Humanistic Mathematics’in sivuilla. Esimerkiksi Ockov ja Look etsivät kirjallisuudesta matemaattisia ongelmia oppilaidensa ratkottaviksi (JHM 5(2):121–132, 2015), Knudson kirjoitti Cantorin joukosta Kafkan novellissa (JHM 7(1):147–154, 2017), Mala pohti, josko Lewis Carrollin Liisan Ihmeemaa oli tarkoitettu modernin matematiikan kritiikiksi (JHM 12(1):348-351, 2022) ja Preece löysi matematiikkaa lukuisista teoksista (JHM 2(1):36-57, 2012).
Niklas Hietala