Kävelin ulos Säätytalosta Suomalaisen Tiedeakatemian avoimen teemaillan jälkeen maaliskuun alkupuolella. Teema oli Infektiot, ja tilaisuus oli suunniteltu kauan ennen kuin uudesta koronaviruksesta oli aavistustakaan. Kuultiin erinomainen esitys ihmiskuntaa koetelleiden pandemioiden historiasta, ja sen lopussa tarkasteltiin myös tuoreita tietoja covid-19:stä. Siinä vaiheessa tauti oli saatu jossain määrin hallintaan Kiinassa ja Etelä-Koreassa, mutta Pohjois-Italiassa oli leimahtanut epidemia. Tilaisuuden henki tuntui silti olevan, että Suomi voi hyvinkin selvitä lähes yhtä vähällä kuin sarsin ja sikainfluenssan epidemioista, niin sairastumisten kuin talousongelmienkin osalta.
Totesin kollegalle, että tuota Italian pesäkettä ei kyllä helpolla sammuteta. Mutta sitä ei kaikkiin nollaa suurempiin todennäköisyyksiin henkisesti varautunut perusmatemaatikkokaan arvannut, että vielä samalla viikolla Suomenkin hallitus pitäisi tiedotustilaisuuden ennennäkemättömien koronavirustehotoimien valmistelusta. Jo muutamaa päivää myöhemmin alkoi toimeenpanovalta panna toimeksi ja kaivoi jopa valmiuslait kassakaapistaan. Helsingin kadut autioituivat niin, että välillä kävelin päin punaisiakin kuin nuoruusvuosina.
***
Myöhemmin MAL-lehden toimitus kysyi, mikä se sellainen SIR-malli on, jonka Pauliina Ilmonen mainitsi haastattelussaan. Ajattelin, että kukaties uusimmassa informaatioteoreettisessa tilastotieteessä epidemiadatan laatua arvioidaan signaali-kohina-suhteella, SIR:hän tarkoittaa signal-to-interference-ratio. Mutta ennen tyhmyyteni paljastamista tulin varmuuden vuoksi googlanneeksi, ja tämä onkin aivan toinen SIR. Kerron siitä saman tien teillekin.
Virusepidemian perusmalli SIR on deterministinen systeemi, jossa populaation jäsenten sairastumisten ja parantumisten dynamiikka on määritelty differentiaaliyhtälöillä. Olkoon ajanhetkellä t
s(t) = sairastumiselle alttiiden suhteellinen osuus (”susceptible”)
i(t) = sairaiden suhteellinen osuus (”infected”)
r(t) = parantuneiden suhteellinen osuus (”recovered”).
Oletetaan kaikki sairautta kokemattomat alttiiksi ja parantuneet immuuneiksi. Koko ajan pätee s(t) + i(t) + r(t)=1, joten systeemi on kaksiulotteinen, vaikka on mukava antaa nimi kaikille kolmelle ryhmälle. Epidemian alussa, hetkellä t = 0, i(0) on pieni positiivinen luku, s(0) = 1–i(0) ja r(0) = 0. Sairaiden oletetaan kohtaavan muita ihmisiä satunnaisesti tasaiseen tahtiin ja levittävän virusta tietyllä intensiteetillä β. Tartuntoja syntyy tätä vähemmän, koska alttiiden osuus s(t) on ykköstä pienempi: hetkellä t sairastumisia tapahtuu yhteensä vauhdilla β s(t) i(t). Sairaat paranevat jollakin intensiteetillä p, mikä vastaa sitä, että sairauden keskimääräinen kesto on 1/p. Suureiden i(t) ja r(t) kehitys noudattaa siis yhtälöitä
Jotta epidemia voisi alussa kasvaa, on oltava β>p. Kun sairaiden määrä on suurimmillaan, i(t):n derivaatta on nolla, eli s(t) = p/ β. Tämän jälkeen i(t) laskee monotonisesti kohti nollaa, kun taas immuunien osuus r(t) lähestyy jotakin nollan ja ykkösen välissä olevaa lukua. Vaikka yhtälö on epälineaarinen eikä sillä ole siistinä kaavana ilmaistavaa ratkaisua, siitä ilmenee se riemukkaan yksinkertainen sääntö, että sairauden läpikäyvien lopullinen osuus on suurempi kuin p/β. Jos valitaan esimerkiksi β = 0.5 ja p = 0.3, jolloin p/β = 0.6, ja i(0) = 1/10000, niin yhtälön numeerinen ratkaisu näyttää tältä (i(t) on punainen, r(t) vihreä ja s(t) oranssi):
Tässä sama 10-kantaisella logaritmisella asteikolla. Se, mikä ylemmässä kuvassa alavasemmalla näyttää tasaiselta nollaviivalta, osoittautuu tuoksi pahamaineiseksi eksponentiaaliseksi kasvuksi, joka logaritmisessa kuvassa näyttäytyy lineaarisena:
Tämä yksinkertaisin SIR-malli kuvaa immuniteetin antavan virustaudin epidemian spontaania kulkua homogeenisessa populaatiossa. Sen dynamiikkaa noudattava epidemia voidaan pysäyttää eristämällä sairaat, mikä vastaa sairaiden tartuttavuusajan 1/p lyhentämistä, ja/tai pienentämällä tartuttavuusparametria β, joka riippuu ihmisten käyttäytymisestä ja kohtaamisten määrästä. Tätä kirjoitettaessa molemmissa on onnistuttu niin hyvin, että koko epidemia on palannut lähtöruutuun. Toivotaan, että se pysyykin siellä, vaikka ravintolat aukeavat. •